Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 3 Junio del libro 98_99
[2'5 puntos]. Dada la función f : [1, e] → R definida por f(x) = 1/x + Ln(x) (donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x), determina cuál de las rectas tangentes a la gráfica de f tiene la máxima pendiente.
Solución
f(x) = 1/x + Ln(x)
La ecuación de la recta tangente en el punto x = a es y - f(a) = f '(a).(x - a)
La pendiente de la recta tangente nos la dá f '(x). Como quieren que tenga la máxima pendiente tenemos que calcular los máximos de f '(x), y de ahí sacaremos el punto donde calcular la pendiente
f(x) = 1/x + Ln(x)
f '(x) = -1/(x2) + (1/x)
f ''(x) = 2/(x3) + (-1/x2) = (2 - x)/(x3)
f ''(x) = 0 → (2 - x) = 0 → x = 2. Posible máximo o mínimo. Veamos que es máximo
f '''(x) = [- x3 - (2 - x).3x2)]/(x3)2
f '''(2) = [- 8 - 0]/(32) < 0, luego x = 2 es un máximo de f '(x)´
La recta tangente en x = 2 es y - f(2) = f '(2).(x - 2)
f(2) = 1/2 + Ln(2)
f '(x) = -1/(4) + (1/2) = 1/4
Es decir la recta pedida es y - (1/2 + Ln(2)) = (1/4).(x - 2)