Sean los vectores u = (-1, 2,3), v = (2,5, -2), x = (4,1,3) y z = (4,1, -8).

(1) [1 punto]. ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

(2) [1 punto]. ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

(3) [0'5 puntos]. ¿Son u, v y z linealmente independientes? Justifica la respuesta.

u = (-1, 2,3), v = (2,5, -2), x = (4,1,3) y z = (4,1, -8).

(1)

Para poder expresar x como combinación lineal de u y v, det(u,v,x) = 0, para que sean dependientes y poder expresar uno de ellos en función de os otros.

det(u,v,x) = = - 99 ≠ 0, luego los vectores u,v,x son linealmente independientes y no se puede expresar ninguno de ellos en función de los otros

(2)

Para poder expresar z como combinación lineal de u y v, det(u,v,z) = 0, para que sean dependientes y poder expresar uno de ellos en función de os otros.

det(u,v,z) = = 0, luego los vectores u,v,z son linealmente dependientes y se puede expresar uno de ellos en función de los otros. En nuestro caso z = a.u + b.v

(4,1, -8) = a. (-1, 2,3) + b. (2,5, -2) = (-a + 2b, 2a + 5b, 3a - 2b). Igualando miembro a miembro y resolvemos el sistema.

4 = -a + 2b                      →      4 = -a + 2b

1 = 2a + 5b [2ªF + 1ªF(2)] →      9 = 0 + 9b →      b = 1

-8 = 3a - 2b [3ªF + 1ªF(3)] →      4 = 0 + 4b →      b = 1, entrando en la 1ª ecuación tenemos

4 = -a + 2.(1) →      a = -2.

Por tanto z = (-2).u + (1).v

(3)

Pregunta si u, v y z linealmente independientes, y evidentemente la respuesta es no, puesto que en el apartado anterior hemos demostrado que son dependientes al ser det(u,v,z) = = 0.