(1) [2 puntos]. Calcula un punto R de la recta s dada por s ≡ que equidiste de los puntos P = (1, 0, - 1) y Q = (2, 1, 1).

(2) [0'5 puntos]. Calcula el área del triángulo determinado por los puntos P, Q y R.

(1)

Un punto genérico de la recta r es R(x,y,z), el cual verifica las ecuaciones de la recta

x - y - 5 = 0

x - 3y - z - 7 = 0

Como el punto R equidista de los puntos P = (1, 0, - 1) y Q = (2, 1, 1), tenemos que:

d(PR) = d(QR), es decir ||PR|| = ||QR||.

PR = (x - 1, y, z + 1)

QR = (x - 2, y - 1, z - 1)

||PR|| = Ö [((x - 1)2 + (y)2 + (z + 1)2 ]

||QR|| = Ö [((x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 ]

Igualamos, elevamos al cuadrado para quitar las raíces cuadradas, desarrollamos los binomio y los pasamos todo a un miembro y nos resulta:

2x + 2y + 4z - 4 = 0

Resolviendo el sistema

x - y - 5 = 0

x - 3y - z - 7 = 0

2x + 2y + 4z - 4 = 0

Obtenemos el punto R buscado

x - y - 5 = 0                                        →       x - y - 5 = 0

x - 3y - z - 7 = 0  ® [2ªF + 1ªF(-1)]      →       0 - 2y - z - 2 = 0

x + y + 2z - 2 = 0 ® [3ªF + 1ªF(-1)]      →       0 + 2y + 2z + 3 = 0

x - y - 5 = 0                                         →       x - y - 5 = 0

0 - 2y - z - 2 = 0                                  →       0 - 2y - z - 2 = 0

0 + 2y + 2z + 3 = 0      →       [3ªF + 2ªF(1)]      →       0 - 0 + z + 1 = 0, de donde

z = -1, y = -1/2, z = 9/2. Es decir R(x,y,z) = R(-1, -1/2, 9/2)

(2)

El área del triángulo PRQ es la mitad del área del paralelogramo que determinan, es decir 1/2.||RPxRQ|| = 1/2.√[12 + (19/2)2 + (1/2)2] = √(183/2) u.a.

RP = -(-1 - 1, -1/2, 9/2 + 1) = (2, 1/2, -11/2)

RQ = -(-1 - 2, -1/2 - 1, 9/2- 1) = (3, 1/2, -7/2)

RPxRQ = = i - (19/2)j - (1/2)k = (1, -19/2, -1/2)