Considera la función f : (0, + ∞ ) → R dada por f(x) = Ln(x)/x, donde Ln(X) es el logaritmo neperiano de x.

(1) [1'5 puntos]. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento así como los extremos relativos de f.

(2) [1 punto]. Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de corte de dicha gráfica con el eje OX.

f : (0, + ∞ ) → R dada por f(x) = Ln(x)/x

(1)

Estudiamos el comportamiento de f '(x) para ver la monotonía

f(x) = Ln(x)/x

f '(x) = [(1/x).x - 1.Ln(x)] / (x²) = [1 - Ln(x)] / (x²)

f '(x) = 0     →    [1 - Ln(x)] = 0, pues un cociente es cero cuando se anula su numerador.

De [1 - Ln(x)] = 0 tenemos Ln(x) = 1, y por definición x = e ≈ 2'718281..

Como f '(1) = 1/1 = 1 > 0, f(x) es creciente en (0,e)

Por definición x = e es un máximo relativo porque a su izquierda la función crece y a su derecha decrece, y su valor es f(e) = Ln(e)/e = 1/e

(2)

La recta tangente en el punto x = a es y - f(a) = f '(a).(x - a)

La abscisa del punto de corte de f(x) con el eje OX se obtiene resolviendo la ecuación f(x) = 0

Ln(x)/x = 0, de donde Ln(x) = 0, por tanto x = 1, por definición

f(x) = Ln(x)/x     →     f(1) = 0/1 = 0

La recta tangente en el punto x = 1 es y - f(1) = f '(1).(x - 1), es decir y - 0 = 1.(x - 1)