Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 4 del libro 98_99
[2'5 puntos]. Determina una primitiva F de la función f dada (en los puntos donde no se anula el denominador) por f(x) = (x3-2x+3)/(x-x2) tal que la gráfica de F pase por el punto (2, Ln(8)).
Solución
Si F(x) es una primitiva de f(x) sabemos que
ò f(x) dx = F(x) + K, siendo K una constante que se calculará con el dato F(2) = Ln(8), pues nos dicen que pasa por el punto (2, Ln(8)).I =
∫ f(x) dx = ∫ (x3-2x+3)/(x-x2) dx , la cual es una integral racional con el denominador de grado superior o igual al denominador, por tanto hemos de efectuar antes la división para poder calcular dicha integral|
x3 - 2x + 3 |
-x2 + x |
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-x3+x2 |
-x - 1 |
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x2 -2x |
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-x2 +x |
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-x + 3 |
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I =
∫ (x3-2x+3)/(x-x2) dx = ∫ [ -x - 1 + (-x+3)/(x-x2)] dx == -x2/2 - x + I1
I1 = ∫ (-x+3)/(x-x2) dx = ∫ (-x+3)/[x.(1-x)] dx =
= ∫ A/(x) dx + ∫ B/(1-x)] dx = A.Ln|x| + B.(-Ln|1-x|) + K
Calculemos A, B y K
(-x+3) / [x.(1-x)] = A/(x) + B/(1-x) = [A.(1 - x) + B.x ] / [x.(1-x)].
Igualando numeradores
(-x+3) = [A.(1 - x) + B.x ]
Para x = 0, 3 = -A → A = - 3
Para x = 1, 2 = B → B = 2
Luego I = -x2/2 - x + I1 = -x2/2 - x + A.Ln|x| + B.(-Ln|1-x|) + K =
= -x2/2 - x - 3.Ln|x| - 2.Ln|1-x| + K = F(x)
Como F(2) = Ln(8)
Ln(8) = -2 -2 -3.Ln(2) - 2.Ln|1-2| + K = - 4 - 3.Ln(2) + K, de donde K = 4 + Ln(8) + 3.Ln(2) = 4 +Ln(8.23) = 4 + Ln(64). Por tanto la primitiva pedida es
F(x) = -x2/2 - x - 3.Ln|x| - 2.Ln|1-x| + K =
= -x2/2 - x - 3.Ln|x| - 2.Ln|1-x| + (4 + Ln(64))