Ejercicio nº
3 de la opción A del modelo 4 del libro 98_99
De todos los planos que contienen la recta
r dada por r ≡
(1) [1 punto] determina el que pasa por el punto P = (1, 4, 0);
(2) [1'5 puntos] determina uno que esté a 3 unidades de distancia del origen, ¿cuántas soluciones hay?
Solución
(1)
Dada la recta r ≡
formamos el haz de planos que tienen como base dicha recta.
(x - 4y + 9) + λ(3y - z - 9) = 0
Le imponemos la condición de que pasa por el punto P = (1, 4, 0).
(1 - 16 + 9) + λ(12 - 0 - 9) = 0. Resolviendo nos queda λ = 2, luego el plano pedido es
(x - 4y + 9) + 2.(3y - z - 9) = 0 y simplificando queda x + 2y - 2z - 9 = 0
(2)
Si ponemos el plano en la forma canónica normal (dividiendo el plano por su vector normal) el término independiente es la distancia de dicho plano al origen de coordenadas
x + 2y - 2z - 9 = 0
n = (1,2,-2) → ||n|| =
Ö (12 + 22 + 22) = √(9) = 3El plano x + 2y - 2z - 9 = 0 en la forma canónica normal es
x/3 + 2y/3 - 2z/3 - 3 = 0, por tanto los planos que se encuentran a a 3 unidades de distancia del origen son
x/3 + 2y/3 - 2z/3
± 3 = 0. Hay dos planos