[2'5 puntos]. Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m

5x + 4y + 2z = 0,

2x + 3y + z = 0,

4x - y + m² = m - 1

5x + 4y + 2z = 0,

2x + 3y + z = 0,

4x - y + m² = m - 1

Matriz de los coeficientes M = y matriz ampliada M^* =

|M| = = -7 + 7m²

|M| = 0       →      -7 + 7m² = 0, de donde m = ± 1

rango(M) = rango(M^*) = 3, por el Teorema de Rouche, el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

Si m = + 1

Matriz de los coeficientes M = y matriz ampliada M^* = .

En M como = 7 ≠ 0, rango(M) = rango(M^*) = 2, por el Teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado. Como el rango es 2 hay dos ecuaciones y dos incógnitas principales, por tanto de las tres ecuaciones nos quedamos con las dos primeras y las soluciones dependen de un parámetro.

Si m = - 1

Matriz de los coeficientes M = y matriz ampliada M^* = .

En M como = 7 ≠ 0, rango(M) = 2.

En M^* como = - 14 ≠ 0, rango(M^*) = 3. 

Como rango(M) = 2 ≠ rango(M^*) = 3, por el Teorema de Rouche el sistema es incompatible y no tiene solución