Solucion modelo 4 del libro 98

Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 4 del libro 98_99
Considera la función f : R → R definida en la forma f (x) = x× e^2x. (1) (1 punto]. Determina los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuál es su valor). (2) [115 puntos]. Determina el valor de la integral (1 + f(x) ) dx
Ejercicio
f (x) = x× e^2x (1) Estudiamos f '(x) para ver su monotonía. f (x) = x× e^2x f '(x) = 1× e^2x + x.2. e^2x = e^2x.(1 + 2x) f '(x) = 0 → e^2x.(1 + 2x) = 0 → (1 + 2x) = 0, de donde x = - 1/2 puesto que la exponencial no se anula nunca. x = - 1/2 es el posible máximo o mínimo relativo Como f '(-2) = e^2.(-2).(1 - 2) < 0, f(x) es decreciente en (- ∞ , -1/2) Como f '(0) = e^2.(0).(1 + 0) > 0, f(x) es creciente en (-1/2, - ∞) Por definición x = -1 es un mínimo relativo puesto que a su izquierda la función decrece y a su derecha crece, y vale f(-1/2) = (-1/2)× e^2(-1/2) = (-1)/(2e¹) (2) I = (1 + f(x) ) dx =(1 + x× e^2x ) dx I₁ = ∫ x× e^2x dx es un integral por partes (∫ u dv = uv - ∫ v du) u = x → du = dx dv = e^2x → v = ∫ e^2x dx = (1/2). e^2x I₁ = ∫ x× e^2x dx = x. (1/2). e^2x - ∫ (1/2). e^2x dx = (1/2).x. e^2x - (1/4). e^2x I = (1 + f(x) ) dx =(1 + x× e^2x ) dx = (1) dx + ( x× e^2x ) dx = = [x + (1/2).x. e^2x - (1/4). e^2x ]^1/2₀ = [(1/2) + (1/4).e¹ - (1/4).e¹] - [0+0 - (1/4).e⁰] = = 1/2 + 1/4 = 3/4