Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio nº 2 de la opción B del modelo 4 del libro 98_99

[2'5 puntos]. Se desea construir una ventana como la de la figura (en la que la parte superior es una semicircunferencia que tenga un perímetro de 6 m. ¿Qué dimensiones debe tener para que su superficie sea máxima?

[2'5 puntos]. Se desea construir una ventana como la de la figura (en la que la parte superior es una semicircunferencia que tenga un perímetro de 6 m. ¿Qué dimensiones debe tener para que su superficie sea máxima?

Solución

Superficie = S = Área rectángulo + Área semicírculo = x.y + (1/2).π .(x/2)2 = x.y + (1/8). π .x2

Relación = perímetro = 6 = 2. π .(x/2) + y + x + y = 2y + x(1 + π ).

Despejando y

y = [6 -x.(1 + π)]/2

Sustituyendo en S

S(x) = x.y + (1/8). π .x2 = x.y + (1/8). π .x2 = x.( [6 -x.(1 + π)]/2) + (1/8). π.x2 =

= 3x - x2/2 - (3p /8)x2

Le aplicamos la técnica de máximos y mínimos

S(x) = 3x - x2/2 - (3π/8)x2

S '(x) = 3 - x - (3π/4)x

S '(x) = 0      →      3 - x - (3C/4)x = 0       →       x = 12 / (4 + 3π)

Comprobemos que es un máximo viendo que S '' [12 / (4 + 3π)] < 0

S ''(x) = - 1 - (3π/4) < 0, luego efectivamente es un máximo.

Veamos cuando vale y = [6 -x.(1 + π )]/2 = [6 - {12 / (4 + 3π)}.(1 + π)]/2 =

= (6 + 6π) / (4 + 3π)