r ≡   y   π ≡ 3x - z = a.

(1)

Para estudiar la posición relativa resolvemos el sistema

x + (1+a)y + z = 0

(2+a)x - y - 2z = 0

3x - z = a

Sea M = la matriz de los coeficientes y M^* = la matriz ampliada.

|M| = = a² - 3a = a(a - 3)

|M| = 0     →    a(a - 3) = 0 de donde a = 0 y a = 3

Por el Teorema de Rouche, como rango(M) = rango(M^*) = 3 el sistema es compatible y determinado y tiene solución única, por tanto la recta y el plano inciden en un punto

Sea M = la matriz de los coeficientes y M^* = la matriz ampliada.

En M como = -3 ≠ 0 , rango(M) = 2

En M^* como una columna es de ceros, su rango coincide con el de M, es decir es 2

Por el Teorema de Rouche, como rango(M) = rango(M^*) = 2 el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones, por tanto la recta está contenida en el plano.

Sea M = la matriz de los coeficientes y M^* = la matriz ampliada.

En M como = -21 ≠ 0, rango(M) = 2

En M^* como = -63 ≠ 0, rango(M^*) = 3

Por el Teorema de Rouche, como rango(M) = 2 ≠ rango(M^*) = 3 el sistema es incompatible, por tanto la recta y el plano no tienen ningún punto en común, luego la recta ha de ser paralela al plano y no estar contenida en el.

(2)

Si a = 1 el punto de corte de la recta y el plano se obtiene resolviendo el sistema

x + 2y + z = 0                           →     x + 2y + z = 0

3x - y - 2z = 0 [2ªF+1ªF(-3)]       →     0 - 7y - 5z = 0

3x        - z = 1 [3ªF+1ªF(-3)]       →     0 - 6y - 4z = 1

x + 2y + z = 0                           →     x + 2y + z = 0

0 - 7y - 5z = 0 [2ªF+3ªF(-1)]      →     0 - y - z = - 1

0 - 6y - 4z = 1                          →     0 - 6y - 4z = 1

x + 2y + z = 0                          →     x + 2y + z = 0

0 - y - z = 0                             →     0 - y - z = - 1

0 - 6y - 4z = 1 [3ªF+2ªF(-6)]      →     0 - 0 + 2z = 7

De donde z = 7/2, y = 1 -7/2 = -5/2, x = 5 - 7/2 = 3/2, es decir el punto de corte de la recta con el plano cuando a = 1 es (x,y,z) = (3/2,-5/2,7/2)