Examen modelo 5 del libro 98_99

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

Duración: 1 HORA Y 30 MINUTOS

Elige entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B, sin mezclar los de una opción con los de la otra. Cada ejercicio vale 2'5 puntos. Contesta las preguntas razonando tus conclusiones; la mera respuesta numérica no vale para obtener la puntuación máxima de cada apartado.

Por favor, escribe de forma ordenada y con letra clara. Se permite el uso de calculadoras.

modelo 5 del libro 98_99 - Opción A

Ejercicio 1. [2'5 puntos]. Calcula el siguiente limite [(senx)²]/(e^x - x - 1)

Ejercicio 2. [2'5 puntos]. Determina la función f : (0, + ∞ ) → R sabiendo que es dos veces derivable, que su gráfica pasa por el punto (1, 1) que f '(1) = 0 y que f "(x) = 1/x

Ejercicio 3. Se sabe que la siguiente matriz M tiene rango 1, M =

(1) [1 punto]. ¿Pueden determinarse a, b, c, d? Justifica la respuesta y, en caso afirmativo. hállalos.

(2) [1'5 puntos]. ¿Cuál es la situación de los planos de ecuaciones respectivas

π₁ ≡ 5x + 6y + 7z = 5, 5x + 6y + 7z = 5, π₂ ≡ x+ay+bz = 2   y   x+ay+bz = 2 y π₃ ≡ 2x + cy + dz = 1?

Ejercicio 4.- Consideremos el punto P (1, 0, - 1) y la recta r dada por r ≡

(1) [1'5 puntos]. Halla el punto de r más cercano a P y la distancia entre P y r.

(2) [1 Punto]. Determina el plano que pasa por el punto P y contiene la recta r.

modelo 5 del libro 98_99-Opción B

Ejercicio 1. (1) [0'5 puntos]. Enuncia la Regla de Barrow.

(2) [2 puntos] Haciendo el cambio de variable x² = t, calcula la integral x× cos(x²) dx.

Ejercicio 2. [2'5 puntos]. De una función derivable f : R → R se sabe que pasa por el punto (3, 0) y que la gráfica de su función derivada es la que se muestra en la figura.

Determina sus extremos locales así como sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y, con estos elementos, esboza razonadamente la gráfica de f.

Ejercicio 3. (1) [1'5 puntos]. Demuestra que las rectas r y s dadas por r ≡ y s ≡ se intersecan y halla el punto dónde lo hacen.

(2) [1 punto]. Halla la ecuación del plano que contiene las rectas r y s.

Ejercicio 4. Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a:

x + 2y - z = 2,

2x + 3y + z = 2,

5x + ay + z = 6.

(1) [1'5 puntos]. Discute el sistema según los valores de a.

(2) [1 punto]. Resuélvelo para a = 8.