Ejercicio nº
4 de la opción B del modelo 5 del libro 98_99
Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a:
x + 2y - z = 2,
2x + 3y + z = 2,
5x + ay + z = 6.
(1) [1'5 puntos]. Discute el sistema según los valores de a.
(2) [1 punto]. Resuélvelo para a = 8.
Solución
x + 2y - z = 2,
2x + 3y + z = 2,
5x + ay + z = 6.
Matriz de los coeficientes M = 
, matriz ampliada M* = 
|M| = 
= -3a + 24.
|M| = 0 → -3a + 24 = 0, de donde a = 8
Si a
≠ 8Rango(M) = rango(M*) = 3 y por el Teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado y tiene solución única
Si a = 8
Matriz de los coeficientes M = 
, matriz ampliada M* = 
En M como 
= - 1 ≠ 0, rango(M) = 2
En M* como 
= 0, rango(M*) = 2
Como rango(M) = rango(M*) = 2, por el Teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones.
(2)
Me piden resolverlo para a = 8 y tenemos rango(M) = rango(M*) = 2, por el Teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Como el rango es dos tenemos dos ecuaciones (las dos primeras, son con las que he formado el menor de orden 2) y dos incógnitas principales.
x + 2y = 2 + z → x + 2y = 2 + z
2x + 3y = 2 - z [2ªF+1ª(-2)] → 0 - y = -2 - 3z
y = 2 + 3z; x = 2 + z - 2(2 + 3z) = -2 - 5z. Tomando z = λ
∈ R las soluciones del sistema son(x,y,z) = (-2 - 5λ, 2 + 3λ , λ ) con λ ∈ R