Ejercicio nº
1 de la opción A del modelo 6 del libro 98_99
(1) [1 punto]. Esboza la gráfica de la función f :
R → R
dada por f(x) =
.
(2) [1'5 puntos]. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x + 2 = 0 y 2x - 1 = 0.
Solución
(1)
f(x) =.
2x+2 es una recta y con dos valores es suficiente para dibujarla
x3 - x = x(x2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) es una cúbica que corta a los ejes en (0,0), (-1,0) y (1,0)
(x3 - x) = +
∞
(x3 - x) = -
∞
Si x > -1, f(x) = x3 - x luego f '(x) = 3x2 -1
f '(x) = 0 → 3x2 -1 = 0 de donde x = ± √(1/3) que serán los posibles máximos y mínimos relativos
Con estos datos es suficiente para dibujar la gráfica de la función
(2)
Ahora piden el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x + 2 = 0 y 2x - 1 = 0, que es la que aparece en la siguiente figura
Área = - 
(2x+2) dx + 
(x3 - x) dx - 
(x3 - x) dx =
= - [x2 + 2x ] -1 -2 + [x4/4 - x2/2]0 -1 - [x4/4 - x2/2]1/2 0 =
= - [(1-2) - (4-4)] + [(0) - (1/4 - 1/2)] - [(1/4-1/2) - (0)] = 3/2 unidades de área (u.a.)