Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 6 del libro 98_99
[2'5 puntos]. Una imprenta recibe el encargo de diseñar carteles en los que la zona impresa debe ocupar 100 cm2 y hay que dejar 4 cm. de margen derecho, 4 cm. de margen izquierdo, 3 cm. de margen superior y 2 cm. de margen inferior. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel para que se utilice la menor cantidad de papel que sea posible.
Solución
Área = (x + 8)(y + 5) = x.y +5x + 8y + 40
Relación = x.y = 100 → y = 100/x
Área = A(x) = 100 + 5x + 800/x + 40
Aplicamos la técnica de máximos y mínimos
A '(x) = 5 - 800/x2
A '(x) = 0 → 5 - 800/x2 = 0, de donde x2 = 160, por tanto x = ± √(160). Como son longitudes sol tomamos la solución positiva, es decir x = Ö (160).
Veamos que es mínimo entrando en la segunda derivada
A '(x) = 5 - 800/x2
A ''(x) = 1600/x3 → A ''(√(160)) = 1600/[√(160)]x3 > 0, luego es un mínimo.
Calculamos y = 100/[√(160)]
Las dimensiones del papel son Ö(160) + 8 y 100/[√(160)] + 6