1) [1'5 puntos]. Determina los valores del parámetro a para los que los siguientes vectores de R³: (1,1,a), (a,3,2) y (0,0,a), son linealmente independientes. Justifica la respuesta.

(2) [1 punto]. Determina la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones son:

π₁ ≡ x + y + 3z = 5,       π₂ ≡ 3x + 3y + 2z = 8       y       π₃ ≡ 3z = 3

(1)

Para que tres vectores u, v, w de R³ sean linealmente independientes su determinante ha de ser distinto de cero, es decir su det(u,v, w) ≠ 0

det(u, v, w) = = -a² + 3a = a(-a + 3)

Luego los vectores u, v, w de R³ son linealmente independientes si y solo si a ≠ 0 y a ≠ 3

(2)

Para ver la posición relativa de los planos

π₁ ≡ x + y + 3z = 5,   π₂ ≡ 3x + 3y + 2z = 8   y   π₃ ≡ 3z = 3.

Discutimos el sistema

x + y + 3z = 5

3x + 3y + 2z = 8

3z = 3

Matriz de los coeficientes M = y matriz ampliada M^* =

|M| = = 0, puesto que es el determinante que hemos calculado antes.

En M como = -4 ≠ 0, rango(M) = 2

En M^* como = 0, rango(M^*) = 2

Por el Teorema de Rouche como rango(M) = rango(M^*) = 2, el sistema es compatible e indeterminado. Tiene dos ecuaciones y dos incógnitas principales luego los tres planos se cortan en la recta de ecuaciones:

x + y + 3z = 5

3x + 3y + 2z = 8

y los tres planos son distintos