Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 6 del libro 98_99
[2'5 puntos]. Considera la función f : R → R definida por f(x) = x/(1+x2).
Dibuja su gráfica determinando previamente los siguientes elementos: sus asíntotas, extremos locales, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y la existencia de simetrías.
Solución
f(x) = x/(1+x2)
Dom f(x) = Â puesto que el denominador no se anula nunca y por tanto no tiene asíntotas verticales.
Como f(-x) = (-x)/(1+(-x)2) = -[x/(1+x2)] = - f(x), la función es impar y por tanto simétrica respecto al origen de coordenadas (0,0)
f(x) = 0, la recta y = 0 es una asíntota horizontal de f(x) en ±
∞
Como 
(f(x) - 0) = 0+, f(x) está por encima de la asíntota en +
∞
Como 
(f(x) - 0) = 0 -, f(x) está por debajo de la asíntota en -
∞
Estudio de f '(x) → monotonía
f(x) = x/(1+x2)
f '(x) = [1. (1+x2) - x.2x]/(1+x2)2 = (-x2+1)/(x2+1)2
f '(x) = 0 → -x2+1 = 0, de donde x = ± 1 que son los posibles máximos o mínimos.
Como f '(-2) < 0, f(x) decrece en (- ∞ , -1)
Como f '(0) > 0, f(x) crece en (-1, 1)
Como f '(2) < 0, f(x) decrece en (1, + ∞ )
Por definición x = -1 es un mínimo relativo porque a su izquierda la función decrece y a su derecha crece, y vale f(-1) = -1/2.
Por definición x = 1 es un máximo relativo porque a su izquierda la función crece y a su derecha decrece, y vale f(1) = 1/2
Con estos datos la grafica de f(x) = x/(1+x2) es :
