La recta de ecuación y = -4x + 2 representa la trayectoria de un móvil A. Otro móvil B se desplaza según la trayectoria dada por la curva de ecuación y = g(x) donde g : R → R es la función definida por g(x) = -x² + 2x +c.

(1) [1'25 puntos]. Halla el valor de c sabiendo que ambas trayectorias coinciden en el punto en el que la función g tiene su máximo local.

(2) [1'25 puntos]. ¿Coinciden ambas trayectorias en algún otro punto? En tal caso, dibuja la región limitada por ambas trayectorias y calcula su área.

(1)

f(x) = - 4x + 2 trayectoria del móvil A

g(x) = -x² + 2x +c trayectoria del móvil B

Los máximos de g(x) son las soluciones de g '(x) = 0

g(x) = -x² + 2x +c

g '(x) = -2x + 2

g '(x) = 0    →    -2x + 2 = 0, de donde x = 1

Comprobamos que es máximo

g ''(x) = -2 < 0, luego es máximo

Como coinciden en x = 1 tenemos que f(1) = g(1)

- 4(1) + 2 = -(1)² + 2(1) +c, de donde c = - 3

(2)

Para ver si coinciden en algún otro punto tenemos que resolver la ecuación:

- 4(x) + 2 = -(x)² + 2(x) - 3 , es decir x² - 6x + 5 = 0.

Las soluciones de x² - 6x + 5 = 0 son x = 1 y x = 5. Luego ambas trayectorias coinciden también en x = 5.

g(x) = -(x)² + 2(x) - 3 es una parábola con las ramas hacia abajo (el número que multiplica a x² es negativo.

Tiene su máximo en x = 1 (lo hemos calculado antes ) y vales g(1) = -1+2-3 = -2

La gráfica de f(x) = -4x + 2 es una recta y con dos valores es suficiente para dibujarla.

La gráfica conjunta entre x = 1 y x = 5 es

Área = [(-x² + 2x - 3) - (-4x + 2)] dx = (-x² + 6x - 5) dx =

= [-x³/3 + 3x² - 5x]⁵₁ = (-125/3 + 75 -25) - (-1/3 + 3 - 5) = 32/3 unidades de área (u.a.)